El problema general del transporte se refiere a la distribución de mercancía desde cualquier conjunto de centro de suministro, denominados orígenes (fuentes), hasta cualquier conjunto de centros de recepción, llamados destinos, de tal forma que se minimicen los costos totales de distribución. Cada origen tiene que distribuir ciertas unidades a los destinos y cada destino tiene cierta demanda de unidades que deben recibir de los orígenes.
 |
| Representación de una red de transporte |
Como se puede observar cualquier modelo de transporte se compone de unidades de un bien a distribuir, m orígenes, n destinos, recursos en el origen, demandas en los destinos y costos de distribución por unidad. Adicionalmente, se tienen varios supuestos:
- Supuesto de requerimientos: cada origen tiene un suministro fijo de unidades que se deben distribuir por completo entre los destinos.
- Supuesto de costo: el costo de distribuir unidades de un origen a un destino cualquiera es directamente proporcional al número de unidades distribuidas.
- Propiedad de soluciones factibles: un problema de transporte tiene soluciones factible si y sólo si la sumatoria de recursos en lo m orígenes es igual a la sumatoria de demandas en los destinos.
- Propiedad de soluciones enteras: En los casos en los que tanto los recursos como las demandas toman un valor entero, todas las variables básicas (asignaciones), de cualquiera de las soluciones básicas factibles (inclusive la solución optima), asumen también valores enteros.
Debido a la particularidad del modelo de transporte la forma tabular Símplex adquiere una estructura que facilita el proceso de asignación a las variables básicas, tal se muestra a continuación:
En los renglones se ubican los orígenes indicando en la columna de la derecha los recursos (oferta disponible). En las columnas se ubican los distintos destinos indicando en el último renglón los totales demandados. En el pequeño recuadro ubicado en la margen superior derecha se indica el costo de distribuir una unidad desde el origen hasta ese destino y en la parte inferior de cada recuadro se registran las asignaciones Xi para cada variable. En los casos donde la sumatoria de los recursos y las demanda no sean las mismas, se agrega un origen o destino ficticio con la cantidad que permita cumplir la propiedad de soluciones factibles.
Después de planteado el modelo de transporte, el siguiente paso es obtener una solución básica factible, la cual se puede obtener a partir de cualquiera de los 3 criterios siguientes:
En cada iteración se determina una variable básica entrante, una variable básica saliente y luego la nueva solución básica factible. Paso 1: la variable de entrada se determina a partir de la relación Cij - Uij -Vij, donde la variable Xij con el resultado más negativo es la que contribuye en una mejor medida a disminuir el costo total, se debe tener en cuenta que esta disminución va en proporción a la asignación resultante. Paso 2: la variable básica saliente es aquella variable básica que disminuya su valor a cero, es decir, es aquella variable de menor asignación y que participa en la reacción en cadena que se establece para compensar los cambios de asignar valor a la variable entrante que permitan satisfacer las restricciones de recursos y demandas. En este punto, se definen dos tipos variables para receptoras y donadoras, de acuerdo a la variación de signo que se produzca en el polígono que permite la transferencia desde la variable de salida a la variable entrante. Paso 3: se encuentra la nueva solución BF, sumando el valor de la variable básica saliente a las asignaciones de las celdas receptoras y se resta a las asignaciones de las celdas donadoras.
Para los fines de ejemplo, se selecciona el problema 8.2-8 ubicado en la página 325 del libro de texto. La Cost-Less Corp., surte sus cuatro (4) tiendas desde sus cuatro (4) plantas y desea minimizar los costos de distribución. A continuación se muestra la tabla con las informaciones de los costos de distribución:
Planteando este problema a través de Solver Excel (ver página relacionada en este blog) y utilizando la primera asignación con el método de la esquina noroeste, se obtiene:
Utilizando el programa TORA se puede visualizar cada una de las iteraciones, se asume el valor de U1 como cero en cada una de las iteraciones.
En la primera iteración, la variable de entrada es X14 y la variable de salida es X11, con una transferencia de 10 unidades, con un resultado de -800 por lo que la reducción al costo total es de 8,000.
En la segunda iteración, la variable de entrada es X23 y la variable de salida es X22, con una transferencia de 0 unidades, con un resultado de -600 por lo que la reducción al costo total es de 0.
 |
| Forma Tabular Símplex Transporte |
Después de planteado el modelo de transporte, el siguiente paso es obtener una solución básica factible, la cual se puede obtener a partir de cualquiera de los 3 criterios siguientes:
- Regla de la esquina noroeste.
- Método de la ruta preferente.
- Método de aproximación de Vogel
Antes de explicar el procedimiento para cada uno de estos criterios de asignación para encontrar la solución inicial BF, se debe conocer el número de variables básicas, el cual se determina con la expresión: m + n - 1. En el modelo anterior 3 + 2 - 1 = 4 variables básicas.
- Regla de la esquina noroeste: la primera elección X11, es decir, se inicia la asignación por la esquina noroeste de tabla. Luego se desplaza a la columna de la derecha si todavía quedan recursos en ese origen. De lo contrario se mueve al reglo debajo hasta realizar todas las asignaciones.
- Método de la ruta preferente: se fundamenta en la asignación a partir del costo mínimo de distribuir una unidad. Primero se identifica este costo se realiza la asignación de recursos máxima posible y luego se identifica el siguiente costo menor realizando el mismo procedimiento hasta realizar todas las asignaciones.
- Método de asignación de Vogel: para cada reglón y columna, se calcula su diferencia, que se define como la diferencia aritmética entre el costo unitario más pequeño y el costo menor que le sigue en ese renglón o columna. En el renglón o columna con la mayor diferencia, se le asigna al menor costo unitario. Los empates se pueden romper de manera arbitraria.
De estos 3 modelos para encontrar la solución inicial BF, el método de Vogel ha sido el más utilizado. Considerando que este criterio toma en cuenta los costos de distribución de forma más eficaz, ya que la diferencia representa el mínimo costo adicional que se incurre por no hacer una asignación en la celda que tiene el menor costo ya sea columna o renglón.
Posterior a esta asignación inicial se requiere un procedimiento que permita las siguientes iteraciones y se obtenga la solución óptima.
Prueba de optimalidad: un solución BF es óptima si y sólo si Cij - Uij -Vij >= 0 para todo (i,j) tal que Xij es no básica. Primeramente para todo variable básica de la solución actual se tiene que Cij - Uij -Vij = 0, por lo que se deduce Cij = Uij -Vij para todo (i,j) tal que Xij es básica. Para los fines de facilitar los diferentes de las diferente ecuaciones resultantes se asume el valor de U1 como cero.
Posterior a esta asignación inicial se requiere un procedimiento que permita las siguientes iteraciones y se obtenga la solución óptima.
Prueba de optimalidad: un solución BF es óptima si y sólo si Cij - Uij -Vij >= 0 para todo (i,j) tal que Xij es no básica. Primeramente para todo variable básica de la solución actual se tiene que Cij - Uij -Vij = 0, por lo que se deduce Cij = Uij -Vij para todo (i,j) tal que Xij es básica. Para los fines de facilitar los diferentes de las diferente ecuaciones resultantes se asume el valor de U1 como cero.
En cada iteración se determina una variable básica entrante, una variable básica saliente y luego la nueva solución básica factible. Paso 1: la variable de entrada se determina a partir de la relación Cij - Uij -Vij, donde la variable Xij con el resultado más negativo es la que contribuye en una mejor medida a disminuir el costo total, se debe tener en cuenta que esta disminución va en proporción a la asignación resultante. Paso 2: la variable básica saliente es aquella variable básica que disminuya su valor a cero, es decir, es aquella variable de menor asignación y que participa en la reacción en cadena que se establece para compensar los cambios de asignar valor a la variable entrante que permitan satisfacer las restricciones de recursos y demandas. En este punto, se definen dos tipos variables para receptoras y donadoras, de acuerdo a la variación de signo que se produzca en el polígono que permite la transferencia desde la variable de salida a la variable entrante. Paso 3: se encuentra la nueva solución BF, sumando el valor de la variable básica saliente a las asignaciones de las celdas receptoras y se resta a las asignaciones de las celdas donadoras.
Para los fines de ejemplo, se selecciona el problema 8.2-8 ubicado en la página 325 del libro de texto. La Cost-Less Corp., surte sus cuatro (4) tiendas desde sus cuatro (4) plantas y desea minimizar los costos de distribución. A continuación se muestra la tabla con las informaciones de los costos de distribución:
 |
| Solución Básica Inicial |
 |
| Solución Optima |
En la primera iteración, la variable de entrada es X14 y la variable de salida es X11, con una transferencia de 10 unidades, con un resultado de -800 por lo que la reducción al costo total es de 8,000.
 |
| Iteración 1 |
 |
| Iteración 2
En la tercera iteración, la variable de entrada es X42 y la variable de salida es X32, con una transferencia de 10 unidades, con un resultado de -600 por lo que la reducción al costo total es de 6,000.
|
 |
| Iteración 3
En la cuarta iteración, la variable de entrada es X42 y la variable de salida es X32, con una transferencia de 0 unidades, con un resultado de -400 por lo que la reducción al costo total es de 0.
|
 |
| Iteración 4
La solución óptima presenta un costo total de 11,000 y la distribución de las diferentes plantas hacia las diferentes tiendas es como sigue:
X14, Planta 1 - Tienda 4 = 10 unidades
X21, Planta 2 - Tienda 1 = 20 unidades
X23, Planta 2 - Tienda 3 = 0 unidades
X33, Planta 3 - Tienda 3 = 10 unidades
X34, Planta 3 - Tienda 4 = 10 unidades
X23, Planta 4 - Tienda 1 = 0 unidades
X42, Planta 4 - Tienda 2 = 10 unidades
|
 |
| Solución Optima |
